Regenbogen

Beim Regenbogen hab ich im letzten Artikel dieser Serie folgende Behauptung aufgestellt:

Die Aufspaltung des weißen Sonnenlichts erfolgt durch Brechung der Lichtstrahlen beim Eintritt in die Wassertropfen und auch wieder beim Austritt. Für uns sichtbar wird der Regenbogen aber erst dadurch, daß die Lichtstrahlen an der Rückseite des Tropfens reflektiert werden.

Dazu nochmal mein Selbstportrait mit Sonne und Regenbogen:

Definitionen

Nun ist es doch einmal interessant, die an dieser Sache beteiligten Winkel auszurechnen. Dazu erst mal ein Bild und ein paar Definitionen.

• Grenzfläche: Grenze zwischen Luft und Wasser
• n: Brechungsindex (1 für Luft, 1,33 für Wasser)
• alpha: Ein- bzw. Austrittswinkel

Der Brechungsindex für Vakuum ist 1. Der für Luft ist 1,0000_nochirgdendwas. Deshalb verwende ich aus Vereinfachungsgründen auch für Luft den Brechungsindex 1.

An der Grenzfläche wird der Lichtstrahl gebrochen, erfährt also eine Richtungsänderung. Die Größe dieser Richtungsänderung ist unter anderem abhängig von der Wellenlänge des Lichtstrahls und damit von der Farbe des Lichts.

Kurzwelliges Licht (Violett) wird stärker gebrochen also langwelliges Licht (Rot).

Diese Lichtauffächerung (Dispersion) wird beschrieben durch leicht unterschiedliche Brechungsindizes der verschiedene Farben.

Das Lot steht senkrecht auf der Grenzfläche.

Beim Übergang von Licht aus einem optisch dünnen in ein optisch dichteres Medium (zum Beispiel von Luft nach Wasser) wird der Lichtstrahl immer in Richtung des Lotes gebrochen.

Brechungsgesetz

Die Formel zur Berechnung der Lichtbrechung wird Snelliussches Brechungsgesetz genannt. Die Formel ist sehr einfach, bietet aber Überraschendes, wie wir später noch sehen werden. Sie lautet:

Fall 1: optisch dünn —> optisch dicht

Betrachten wir als erstes, was geschieht, wenn das Licht sich aus der Luft ins Wasser bewegt (z.B. beim Eintritt in einen Regentropfen)

In diesem Fall werden die Lichtstrahlen zum Lot hin gebrochen.

Schaun wir uns also einen Lichtstrahl mit einer festgelegten Wellenlänge und damit Farbe an. Wir wählen den Lichtstrahl so, daß er in Wasser einen Brechungsindex von 1,33 hat. Die tatsächliche Farbe dieses Strahls ist für die folgenden Betrachungen unwichtig.

Ein- und Austrittswinkel werden jeweils gegen das Lot gemessen. Wir wollen nun wissen, zu welchen Eintrittswinkeln welche Austrittswinkel gehören. Dazu stellen wir das Brechungsgesetz um:

Nun ist der Taschenrechner gefordert. Wir rechnen für verschiedene Eintrittswinkel die dazugehörigen Austrittswinkel aus. Das Ergebnis kommt in eine kleine Tabelle:

• alpha Luft ——————- alpha Wasser
• 90° —————————— 48,75°
• 89° —————————— 48,74°
• 60° —————————— 40,63°
• 45° —————————— 32,18°
• 30° —————————— 22,08°
• 1° ——————————– 0,75°
• 0° ——————————– 0°

Das Ganze läßt sich sehr schön in einem Bild darstellen:

Links kommt der Lichtstrahl rein und ändert an der Grenzfläche Luft – Wasser seine Richtung und zwar in Richtung des Lotes, das senkrecht auf der Grenzfläche steht.

Wenn das Licht entlang des Lotes einfällt, wird es nicht gebrochen, sondern flutscht wie ein warmes Messer durch Butter (0°).

Ein Einfallswinkel von 90° ist unsinnig, da sich der Lichtstrahl dann entlang der Grenzfläche bewegt, aber niemals ins Wasser eindringen kann. Ich habe diesen Wert dennoch in die Tabelle eingetragen, da die 48,75° des theoretisch resultierenden Austrittsstahls in unseren weiteren Betrachtungen noch eine große Rolle spielen wird.

Zusammenfassend sein gesagt:

Wenn Licht von Luft ins Wasser eintritt, wird es an der Grenzfläche gebrochen und ändert seine Richtung. Lichtstrahlen, die frontal auf die Grenzfläche treffen, treten ohne Richtungsänderung ins Wasser ein.

Fall 2: optisch dicht —-> optisch dünn

Das ist der Fall beim Austritt des Lichtes aus dem Wasser, also wenn unser Sonnenstrahl aus dem Regentropfen wieder an die Luft herauskommt.

Beim Übergang von Licht aus einem optisch dichten in ein optisch dünneres Medium wird der Lichstrahl an der Grenzfläche gebrochen und ändert damit seine Richtung. Die Richtungsänderung geht hier vom Lot weg.

Stellen wir das uns schon bekannte Brechungsgesetz so um, daß wie auch hier die Gradwerte ausrechnen können:

Wie vorhin schon beim Fall Luft – Wasser bemühen wir auch jetzt unseren Taschenrechner und schreiben die Ergebnisse wieder in eine kleine Tabelle:

• alpha Wasser —————— alpha Luft
• 0° ———————————– 0°
• 1° ———————————– 1,33°
• 10° ——————————— 13,35°
• 20° ——————————— 27,06°
• 30° ——————————— 41,68°
• 40° ——————————— 58,75°
• 45° ——————————— 70,13°
• 48° ——————————— 81,26°
• 48,75° —————————– 90°
• 48,76° —————————– geht nicht!

48,76° geht nicht? Warum denn das? Geduld, die Erklärung kommt gleich. Ich möchte nur zuerst einige der Lichtstrahlen in ein Bild malen. Ist immer besser, Informationen über verschiedene Wege zu bekommen.

Schauen wir uns also diesen Übergang von Wasser nach Luft genauer an.

Trifft der Lichtstrahl frontal auf die Grenzfläche, wird er ohne anzuhalten durchgewunken (0°).

Lichtstrahlen, die unter einem anderen Winkel an der Grenzfläche ankommen, werden gebrochen und ändern deshalb ihre Richtung. Die Richtungsänderung erfolgt immer vom Lot weg.

Das ganze geht so lang gut, bis wir bei einem eintrittswinkel von 48,75° ankommen. Der zu diesm winkel gehörige Lichtstrahl wird an der Grenzfläche 90° vom Lot weg gebrochen. Das bedeutet, daß er an der Grenzfläche entlangwandert, ohne in das Medium Luft eintreten zu können.

Der Winkel 48,75° wird Grenzwinkel der Totalreflektion genannt. Eingangswinkel, die größer sind als dieser Grenzwinkel, können bom Brechungsgesetz nicht mehr berechnet werden, denn für diese Lichtstrahlen findet keine Brechung mehr statt. Sie bleiben im Medium Wasser und werden an der Grenzfläche reflektiert. Dabei gilt, wie bei jedem Spiegel: Eintrittswinkel = Austrittswinkel.

Und warum können diese Winkel nicht mehr von dieser einfachen Formel berechnet werden. Ich muß doch nur die Werte in den Tachenrechner eintippen, das Ergebnis ablesen und gut isses!

Probiert das mal. ich versichere euch, daß euch der Taschenrechner den Vogel zeigen wird.

Ich stell die Formel nochmal um und rechne das nach:

Und da haben wir das Problem. Der Sinus des Luftwinkels hat als Ergebnis einen Wert größer als 1. Der Sinus von irgendetwas kann aber keinen Wert annehmen, der größer ist als 1. Das ist per Definition der Sinusfunktion unmöglich.

Das bedeutet, daß bei Winkeln größer als der Grenzwinkel das Brechungsgesetz kein Ergebnis mehr liefert. Es findet an der Grenzfläche keine mehr statt, sondern eine Reflektion, die sogenannte Totalreflektion.

Was hat die Totalreflektion mit einem Regenbogen zu tun?

Wäre schön, wenn sie damit zu tun hätte. Denn dann wäre die Erklärung des Phänomens Regenbogen sehr einfach: Bei Eintritt in dden Wassertropfen wird das Licht gebrochen. Der gebrochene Lichtstrahl wird hinten im Tropfen reflektiert, um beim Wiedererscheinen in der Luft noch einmal gebrochen zu werden.

Schöne Erklärung, oder? Nur ist sie eigentlich nicht ganz richtig.

Beim Übergang von Wasser nach Luft wird das Licht gebrochen und erfährt deshalb an der Übergangsfläche eine Richtungsänderung, und zwar zum Lot hin. Das meiste Licht kann das Wasser verlassen, nur ein kleiner Teil davon wird reflektiert.

Das funktioniert ganz gut, solange wir unterhalb des Grenzwinkels bleiben. Schicken wir den Lichtstrahl aber mit 48,75° (gegen das Lot gemessen) auf die Grenzfläche, so wird der Lichtstrahl so abgelenkt, daß er auf der Übergangsfläche entlangschrammt. Nichts halbes und nichts ganzes also.

Vergrößern wir den Einfallswinkel weiter, so alles Licht an der Übergangsfläche reflektiert.

Bei einem Regentropfen haben wir aber nun ein Problem.

Um hinten im Wassertropfen reflektiert zu werden, müßte der Einfallswinkel an der Reflektionsstelle größer als der Grenzwinkel sein. Nun hat dieser Einfallswinkel den gleichen Wert wie der Winkel, unter dem der Strahl beim Eingang in den Regentropfen gebrochen wird. Und da haben wir schon unser Problem. Licht, daß in einen Regentropfen eindringt, kann nie den Grenzwinkel erreichen. Es wir immer weniger als 48,75° gebrochen werden.

Darum kann in einem Regentropfen niemals eine Totalreflektion erreicht werden. Der Grund für den Regenbogen muß ein anderer sein.

Der Grund für den Regenbogen ist die Tatsache, daß neben der Brechung immer ein klein wenig Licht reflektiert wird. Es gibt nun einen Winkelbereich, in dem besonders viele Lichtstrahlen zur Reflektion beitragen. Dieser Winkelbereich stellt sich dann ein, wenn wir den Regenbogen unter unserem berühmten Beobachtungswinkel von etwa 42° anschauen können. Dann wird nämlich so viel Licht reflektiert, daß der Regenbogen sichtbar wird.

Das wars mit meinem kleinen mathematischen Ausflug.

Gehabt euch wohl…

Projekt Regenbogen

Ein klasse Regenbogen
42
Licht und Farbe
Wie entsteht ein Regenbogen?
Totalreflektion
Der Beobachtungswinkel zum Regenbogen