Edgar wartet auf den Regenbogen

Irgendwie hab ich Geschmack daran gefunden, ein wenig mit Formeln zu spielen, lustige Bildchen dazu zu malen und eigenartige Diagramme zu basteln. Drum gibt es heute von mir eine Zugabe in der Regenbogen-Artikelserie.

Heute will darüber philosophieren, warum gerade Winkel in der Gegend um 42° notwenig sind, um einen Regenbogen sehen zu können.

Zuerst aber ein kleines Bild:

Links im Bild, gelb eingezeichnet, sind einfallenden Sonnenstrahlen zu sehen. Da die Sonne so richtig weit weg ist, können die Stahlen alle als parallel angesehen werden.
In die Bildmitte hab ein einen Regentropfen gemalt Und unten bin ich zu sehen, auf den Regenbogen wartend.
Einen der Sonnenstrahlen hab ich mir herausgepickt und in den Wassertropfen geschickt. Ich bin gespannt, was nun passiert.

Ein paar Festlegungen

Erinnert ihr euch an das Snelliussche Brechnungsgesetz aus dem letzten Artikel? Bestimmt, oder? Ich hab es damals so ausgedrückt:

Ich werde in diesem Artikel die Brechungsindizes und die Winkel anders nennen. Drum das Brechungsgesetz nochmal, diesmal in der geänderten Schreibweise:

Dabei gilt:

Bei der ganzen Sache bitte ich um Nachsicht, wenn manche Bezeichnungen nicht den allgemeinen Gepflogenheiten entsprechen. Egal, was die wissenschaftlichen Konventionen verlangen, ich mach es so, daß ich selber durchblicke 🙂

Rein in den Regentropfen

Links steht die Sonne. Einen der vielen parallelen Sonnenstrahlen hab ich ausgewählt, mir bei meinen Regenbogenbetrachtungen zu helfen.

Der Lichtstrahl trifft am Punkt A auf den Wassertropfen und dringt in ihn. Dabei erfährt er eine Richtungsänderung zu Lot hin. Das Lot ist hier identisch mit dem Radius des Wassertropfens, der durch den Eintrittspunkt A läuft.

Die gelb gestrichelte Linie markiert den Weg, den der Sonnenstrahl genommen hätte, wenn er nicht gebrochen worden wäre.

Der Winkel Alpha ist der Eintrittswinkel des Lichtstrahls in den Wassertropfen, gemessen gegen das Lot.
Der Winkel Beta ist der Winkel des gebrochenen Lichtstrahls, wieder gemessen gegen das Lot.

Der gebrochene Lichtstrahl wandert durch den Wassertropfen und trifft im Punkt B auf die Rückseite des Tropfens.

Das Dreieck AMB ist ein gleichschenkliges Dreieck, da zwei der Dreieckseiten identisch mit dem Radius des Wassertropfens sind. Deshalb kann der Winkel Beta auch im Punkt B aufgetragen werden.

Die Spiegelung

Nun befindet sich unser Lichtstrahl also im Wassertropfen. Außerhalb des Tropfens warte ich immer noch darauf, Licht vom Regenbogen zu erhaschen. Schaun wir also, was nun im Regentropfen passiert:

Klasse! Das Licht wird hinten im Regentropfen reflektiert. Dabei gilt, so wie es sich für eine Spiegelfläche gehört, daß der Winkel des einfallenden Strahls identisch ist mit dem Winkel des gespiegelten Strahls.

Das Lot, das senkrecht auf der Spiegelfläche steht, wird wieder durch den Radius des Tropfens gespielt, der diesmal durch den Spiegelpunkt B verläuft.

Am Reflektionspunkt kann ich damit den Winkel Beta in das neue Dreieck übertragen (Einfallswinkel = Ausfallswinkel)). Und da es sich auch diesmal um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, wandert Beta gleich weiter, und zwar zum Punkt C.

Unser neu gezaubertes gleichschenkliges Dreieck ist also CMB. Gleichschenklig, weil zwei Seiten des Dreiecks identisch mit dem Tropfenradius sind. Kennen wir doch schon von unserem ersten Dreieck, oder?

Soweit, so gut. Das Problem, ist nur, daß ich den Lichtstrahl des Regenbogens immer noch nicht sehe, auf den ich so sehnsüchtig warte. Denn noch hat der Strahl den Tropfen nicht wieder verlassen.

Raus aus dem Regentropfen

Tun wir unserem Beobachter, also mir, den Gefallen und lassen den Lichtstrahl seinen Weg fortsetzen.

Der Lichtstrahl verlässt im Punkt C den Tropfen. Hier erfährt er wegen der Brechung wieder eine Richtungsänderung, diesmal allerdings vom Lot weg (Übergang Wasser nach Luft). Das Lot kennen wir ja inzwischen. Es ist der Radius des Tropfens, der jetzt durch den Austrittspunkt C hindurch verlängert wird.

Ich hab den Austrittswinkel Phi genannt.

Der Beobachtungswinkel

Kommen wir nun zu dem Winkel, um den sich alles dreht. Kommen wir zu dem Winkel mit den ominösen 42°. Ich hab diesem Winkel Gamma genannt und den fiktiven Punkt, an dem er anliegt D.

Die Richtungsänderung

Als Richtungsänderung bezeichne ich den Winkel, um den der Sonnenstrahl seine Richtung ändern muß, um auf unser Auge zu treffen. Klingt gut, oder?

Schaun wir uns das einmal genauer an.

Denken wir uns den Regentropfen weg und ignorieren damit, daß in dem Regentropfen der Lichtstrahl gebrochen und reflektiert wird. Schauen wir uns nur die Wirkung des Ganzen an.

Der Lichtstrahl kommt von der Sonne und wandert durch Punkt A hin zu Punkt D. Dort trifft er auf eine Spiegelfläche, die so ausgerichtet ist, daß er auf unser Auge reflektiert wird..

Wenn wir den Spiegel im Punkt D abbauen würden, könnte der Lichtstrahl seinen Weg geradeaus fortsetzen. Er würde keine Richtungsänderung erfahren. Die Richtungsänderung R wäre dann 0°.

Nun bauen wir den Spiegel wieder ein, richten ihn aber so aus, daß der Sonnenstrahl in sich selbst reflektiert wird. Damit wandert der von der von der Sonne kommende Strahl durch den Punkt A bis hin zum Spiegel in Punkt D. Dort wird er zurückgeworfen, und erreicht nach erneutem Passieren von Punkt A wieder seinen Ausgangspunkt in der Sonne.

Der Strahl würde in diesem Fall in Punkt D eine Richtungsänderung von 180° erfahren. Also, R = 180°.

Nun drehen wir den Spiegel in Punkt D so, daß wir den Sonnenstrahl sehen können. Die Richtungsänderung beträgt nun nicht mehr die vollen 180°, sondern 180° weniger des Winkels Gamma.

Das wollen wir doch gleich in einer kleinen Formel festhalten.

Der fiktive Weg des Lichtstrahls

Egal was unserem Lichtstrahl auf dem Weg auch passieren, er muß seine Richtung um einen bestimmten Betrag ändern, um eine Chance zu haben, von uns gesehen zu werden. Und ihm wird einiges geschehen, denn wir schicken ihn ja durch einen Regentropfen.

Stellen wir uns den Regentropfen als eine Art black box vor.. Wir wissen nicht, was in dieser black box geschieht. Wir wissen nur (durch experimentieren und ausprobieren, daß ein Lichtstrahl in dieser box um 138° umgelenkt werden muß, um von uns gesehen zu werden, was einem Beobachtungswinkel von 42° entsprechend würde.

Warum es diese 42° sein müssen, damit beschäftigen wir uns nun im mathematischen Teil dieser Abhandlung.

Der Weg des Strahls im Regentropfen

Schaun wir also noch einmal an, was dem Lichtstrahl im Regentropfen so alles passiert.

Der Strahl beginnt seinen Weg in der Sonne und trifft im Punkt A auf den Regentropfen, den wir uns idealerweise als eine Kugel vorstellen. Dort wird er gebrochen und erfährt damit eine Richtungsänderung. Sein neuer Weg führt ihn hin zu Punkt B hinten im Tropfen. In Punkt B scheint jemand einen Spiegel montiert zu haben, was den Strahl dazu veranlaßt, den Tropfen nicht zu verlassen, sondern sich auf den Weg hin zu Punkt C zu begeben. In Punkt C wird er noch einmal gebrochen und erreicht danach unser Auge.

Der Lichtstrahl erfährt also auf seinem Weg durch den Regenbogen drei Richtungsänderungen. Addieren wir diese drei Richtungsänderungen, dann erhalten wir die gesamte Richtungsänderung des Strahls. Und wie wir oben gesehen haben, erfahren wir damit den Beobachtungswinkel, der notwendig ist, um den Strahl sehen zu können, also die ominösen 42°.

Etwas Mathematik: Die drei Richtungsänderungen

Die erste Richtungsänderung erfährt unser Lichtstrahl, wenn er beim Eintritt in den Regentropfen gebrochen wird.
Die zweite Richtungsänderung geschieht bei der Spiegelung hinten im Tropfen.
Und die dritte Richtungsänderung ergibt sich, wenn der Strahl den Tropfen wieder verlässt.

Richtungsänderung beim Einrtitt in den Tropfen

Ich habe diese Richtungsänderung in der Formel oben mit Alpha minus Beta angegeben, was auch logisch ist. Denn der Winkel Alpha kann als Scheitelwinkel im Punkt A nach innen projeziert werden.

Richtungsänderung beim Austritt aus dem Tropfen

Da brauch ich keine Worte drüber zu verlieren. Denn das Prinzip ist das Gleiche wie beim Eintritt des Stahls in den Tropfen.

Richtungsänderung bei der Spiegelung

Diese Richtungsänderung ist nicht ganz so einfach zu greifen wie die beiden anderen. Am besten zeige ich dazu das Bild von oben noch einmal

Das Spiel, daß wir nun spielen, haben wir schon einmal gespielt, und zwar im Kapitel „Die Richtungsänderung“. Nur ist unser Spielball diesmal nicht der fiktive ungebrochene Sonnenstrahl, sonder der gebrochene Strahl im Regentropfen.

Der Lichtstrahl verläuft im Tropfen von A nach B. Würden wir ihn über B hinaus verlängern, würde der Strahl den Tropfen ohne Richtungsänderung wieder verlassen. R wäre dann 0°.

Montieren wir in Punkt B nun wieder unseren Spiegel und richten ihn so aus, daß der Strahl in sich selbst reflektiert wird. Der Lichtstrahl wandert dann von Punkt A zum Spiegel in Punkt B, erfährt dort eine Richtungsänderung von 180°, dreht also um, und erreicht schließlich wieder den Ausgangspunkt A. In diesem Fall wäre R, wie schon erwähnt, 180°

Nun drehen den Spiegel etwas und stellen ihn so ein, daß der Lichtstrahl, von A kommend, im Spiegelpunkt B nach C reflektiert wird. Die Richtungsänderung beträgt dann keine vollen 180° mehr, sondern 180° vermindert um 2 mal Beta. Also, R ist hier 180° minus zweimal Beta.

Quod erat demonstrandum.

Ein wenig mehr Mathematik: Die gesamte Richtungsänderung

Wir haben bei der Betrachtung des Regentropfens als black box schon gesehen, daß es egal ist, was im Regentropfen passiert. Nur das Resultat, also das, was heraus kommt ist wichtig.

Innen kann der Lichtstrahl machen, was er will. Wir müssen nur jede seiner Richtungsänderungen festhalten, was wir ja getan haben. Das Resultat, also die gesamte Richtungsänderung erhalten wir dann, wenn wir alle einzelnen Richtungsänderungen aufaddieren.

Das wollen wir doch gleich tun und das Ergebnis noch ein wenig vereinfachen

Noch mehr Mathe: Das Brechungsgesetz

Mit diesem Gesetz hatten wir schon ein paarmal zu tun. Auch hier in unseren Betrachtungen zum Regentropfen kann ich es brauchen. Ich möchte nämlich aus der Formal für die gesamte Richtungsänderung, die wir gerade entwickelt haben, das Beta weg haben.

Nehmen wir also das Brechungsgesetz, stellen es nach Beta um.

Das kann ich nun in die Formel für den gesamten Umlenkwinkel einsetzen und habe damit Beta aus der Formel eleminiert. Wenigstens fürs erste.

Da sind noch zu viele Unbekannte in der Formel. Ich möchte nämlich eine Funktion bastelt, die mir den gesamten Umlenkwinkel in Abhängigkeit vom Eintrittswinkel Alpha des Strahls in den Regentropfen. Da muß ich wohl noch Phi ausbauen.

Das krieg ich aber wieder mit dem Brechungsgesetz hin. Ich stell es einfach nach Phi um und setze das Ergebnis wie eben schon in die Formel ein. Phi ist diesmal der Winkel in der Luft, zu der der Brechungsindex 1 gehört. Also:

Und rein mit der ganzen Schoose in die Formel

Klasse! Schon hab ich Beta wieder in der Formel, das ich gar nicht drin haben will. Gut, das bekomme ich wieder mit einsetzen weg. Hat vorhin ja auch schon funktioniert. die Formel wird aber immer komplizierter. Kann ich da nicht noch etwas vereinfachen?

Zum vorletzten mal Mathe: Der Beobachtungswinkel

Ich habe dem Beobachtungswinkel vorhin den Namen Gamma gegeben und ihn in einer Formel festgehalten:

Und es ist ja eigentlich dieser Beobachtungswinkel, den ich in meiner Funktion in Abhängigkeit von Alpha betrachten will. Ich denke, da kann ich jetzt zwei Fliegen mit einer Klappe schlagen und in der Formel den Umlenkwinkel durch den Beobachtungswinkel ersetzen. Und als Nebenprodukt fliegt dabei gleich noch der 180°-Winkel nach /dev/null 🙂

Schaut doch schon etwas angenehmer aus, ist aber immer noch ziemlich kompliziert. Und es wird wohl noch komplizierter, da das Beta noch raus muß. Beta war ja

 Und das kann ich in unsere Formel einsetzen, dann bin ich da, wo ich hin will. Nur wird das Ganze dann langsam unübersichtlich. Aber da geht doch noch etwas, denke ich.

Es ist ja Sinus von Beta, in das ich einsetzen muß. sinus und Arcussinus sind jedoch gegensätzliche Funktionen und eleminieren sich dadurch gegenseitig. Das bedeutet, ich kann den Sinus und den Arcussinus weglassen und schreiben

Und da geht noch was. Denn nochmal stehen Arcussinus und Sinus direkt hintereinander und bremsen sich dadurch gegenseitig aus

Und jetzt schaut die Formal doch wesentlich angenehmer aus, oder?

Das Diagramm

Malen wir also ein Diagramm, das den Beobachtungswinkel Gamma in Abhängigkeit des Eintrittswinkels Alpha beschreibt.

Auswertung und Ergebnis

Schaun wir uns das Diagramm mal etwas genauer an.

Auf der x-Achse habe ich den Eintrittswinkel Alpha des Lichtstrahls in den Regentropfen aufgetragen. Die Kurve zeigt mir nun die zu bestimmten Eintrittwinkeln gehörenden Beobachtungswinkel.

Ich hab vorhin schon kurz erwähnt, daß die Lichtstrahlen gebrochen werden,wenn sie den Regenbogen nach hinten am Speigelpunkt verlassen wollen. Dabei erfahren sie eine Richtungsänderung und verschwinden ins Nirvana. Nur ein kleiner Teil des Lichts wird reflektiert und schlägt seinen Weg in unserer Richtung ein.

Nun kommt es darauf an, an welcher Stelle des Regentropfens das Licht eingedrungen ist. Denn zu jeder Stelle gehört ein ein eigenes Lot (=Radius des Tropfens durch den Eintrittspunkt) und demnach auch ein eigener Eintrittswinkel Alpha.

Nochmal, anders ausgedrückt.

Da die Sonne weit genug entfernt ist, dürfen die Sonnenstrahlen als parallel angesehen werden. Sie treten also in breiter Front parallel in den Regentropfen ein. Zu jedem Eintrittsort gehört ein anderes Lot und damit ein anderer Eintrittswinkel Alpha.

Wenn Alpha klein ist, treten die Lichtstrahlen ziemlich in der Mitte in den Tropfen ein. je größer Alpha wird, umso weiter sind sie am Rand des Tropfens.

Die Kurve im Diagramm steigt zu Beginn ziemlich steil an. Das bedeutet, daß ich nur eine geringe Anzahl Lichtstrahlen an unter einem bestimmten Beobachtungswinkel sehen kann. Es sind sogar so wenige, daß sie in der Umgebungshelligkeit verschwinden.

In einem Bereich von Lichteintrittswinkeln etwa zwischen 55 und 65 Grad ist die Kurve aber flach geworden. Der Beobachtungswinkel beträgt in diesem Bereich etwa 42°, und zwar für einen breiten Bereich von Eintrittswinkeln. Und in diesen breiten Bereich passen eine Menge Lichtstrahlen, die alle auf den Beobachter reflektiert werden. Viele Lichtstrahlen bedeutet Helligkeit. Und Helligkeit bedeutet Sichtbarkeit.

Deshalb ist der Regenbogen nur bei einem Beobachtungswinkel von etwa 42° zu sehen.

Projekt Regenbogen

Ein klasse Regenbogen
42
Licht und Farbe
Wie entsteht ein Regenbogen?
Totalreflektion
Der Beobachtungswinkel zum Regenbogen